Kalkulus 1

Definisi 1.2.1.(Nilai Mutlak)

Nilai Mutlak atau magnitude suatu bilangan real $a$, ditulis dengan $|a|$, didefinisikan dengan \begin{equation*} |a|=\begin{cases} a, & \text{jika } a\geq 0,\\ -a, & \text{jika } a < 0. \end{cases} \end{equation*}

Teorema 1.1.1.

Untuk setiap bilangan real $a$, berlaku $$\sqrt{a^2}=|a|.$$

Teorema 1.2.1.

Jika $p$ dan $q$ bilangan real, maka berlaku:

$|p|\geq 0$ (Nilai Mutlak suatu bilangan selalu tak-negatif).
$|-p|=|p|$ (suatu bilangan dan negatifnya mempunyai nilai mutlak sama).
$|pq|=|p||q|$ (Nilai mutlak dari perkalian sama dengan perkalian nilai mutlak).
$\left|\dfrac{p}{q}\right|=\dfrac{|p|}{|q|}, \quad q\neq 0$ (Nilai mutlak dari pembagian sama dengan pembagian nilai mutlak).

Teorema 1.3.1.

Jika $P$ dan $Q$ titik-titik pada garis bilangan yang masing-masing dengan koordinat $p$ dan $q$, maka jarak $d$ antara $P$ dan $Q$ adalah: $$d=|p-q|.$$ Berikut penjelasan untuk lebih jelasnya.

$|x-p|:$ Jarak antara $x$ dan $p$.
$|x+p|:$ Jarak antara $x$ dan $-p$.
$|x|:$ Jarak antara $x$ dan titik asal.

Sifat penting:

$|x-p| < k \implies -k < x-p < k $.
$|x-p|>k\implies x-p<-k\quad \text{atau}\quad x-p>k$.

Teorema 1.4.1. (Pertidaksamaan Segitiga)

Jika $a$ dan $b$ bilangan real, maka $$|a+b|\geq |a|+|b|.$$

Contoh 1

Dapatkan penyelesaian dari persamaan yang diberikan berikut ini. $$|2x^2-3x|=x|2x-3|$$

Pembahasan

Pertama-tama, sederhanakan terlebih dahulu bentuk mutlaknya. \begin{align*} |2x^2-3x|&=x|2x-3|\\ |x(2x-3)|&=x|2x-3|\\ |x||2x-3|-x|2x-3|&=0\\ |2x-3|(|x|-x)&=0\\ |2x-3|=0\dots(i) \quad &\text{atau}\quad |x|-x=0\dots(ii) \end{align*} Di bawah ini diuraikan penyelesaian untuk masing-masing solusi.

Perhatikan bahwa $|2x-3|=0$ hanya terpenuhi ketika fungsi di dalam tanda mutlak juga bernilai $0$. Oleh karena itu, solusinya adalah $$2x-3=0\implies x=3/2.$$
Berdasarkan definisi, $|x|$ dapat ditulis sebagai $$|x|=\begin{cases} x,\quad x\geq 0\\ -x,\quad x < 0 \end{cases}$$ Untuk $x\geq0$, solusinya adalah sebagai berikut. $$x-x=0\implies 0=0$$ Pernyataan bahwa $0=0$ merupakan pernyataan yang benar sehingga semua bilangan real $x\geq0$ memenuhi $|x|-x=0$. Adapun untuk $x<0$, solusinya adalah sebagai berikut. $$-x-x=0\implies -2x=0\implies x=0$$ Nilai $x=0$ tidak memenuhi syarat $x < 0$ sehingga tidak ada solusi untuk $x < 0$. Himpunan Penyelesaian (HP) dari $|x|-x=0$ diperoleh dengan menggabungkan solusi untuk $x\geq0$ dan $x < 0$, yaitu $$HP=[0,+\infty)\cup\emptyset=[0,+\infty)=\{x\,|\,x\geq 0, x\in \mathbb{R}\}.$$

Jadi solusi dari $|2x^2-3x|=x|2x-3|$ adalah gabungan dari solusi $(i)$ dan $(ii)$, yaitu: $$\{x|x\geq0,x\in\R\}=[0,+\infty).$$

Contoh 2 (ETS 2021/2022)

Tentukan himpunan penyelesaian dari: $$2\leq |3+x|\leq 5.$$

Pembahasan

Pertidaksamaan mutlak tersebut dapat dipecah menjadi $2$ pertidaksamaan, yaitu $|3+x|\geq2$ dan $|3+x|\leq5$. Berikut adalah penyelesaian untuk masing-masing pertidaksamaan.

$|3+x|\geq2$ Dengan sifat nilai mutlak, penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut dapat dicari dengan langkah berikut. \begin{align*} |3+x|&\geq2\\ 3+x\geq 2\dots(i)\quad&\text{atau}\quad 3+x\leq -2\dots(ii) \end{align*} Untuk $(i)$, solusinya adalah $$3+x\geq 2\implies x\geq 2-3\implies x\geq -1.$$ Adapun untuk $(ii)$, solusinya adalah $$3+x\leq -2\implies x\leq -2-3\implies x\leq -5.$$ Himpunan Penyelesaian (HP) yang pertama merupakan gabungan dari solusi $(i)$ dan $(ii)$, yaitu: $$HP_1=(-\infty,-5]\cup[-1,+\infty)=\{x|x\leq -5 \cup x\geq -1, x\in\mathbb{R}\}.$$
$|3+x|\leq5$ Dengan sifat nilai mutlak, penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut dapat dicari dengan langkah berikut. \begin{align*} |3+x|&\leq5\\ -5\leq 3&+x \leq 5\\ -5-3\leq &x \leq 5-3\\ -8\leq &x \leq 2 \end{align*} Diperoleh Himpunan Penyelesaian (HP) yang kedua, yaitu: $$HP_2=[-8,2]=\{x|-8\leq x \leq 2, x\in\mathbb{R}\}.$$

Solusi dari pertidaksamaan mutlak pada soal adalah gabungan dari $HP_1$ dan $HP_2$, yaitu: $$HP=[-8,-5]\cup[-1,2]=\{x|-8\leq x\leq-5\cup -1\leq x\leq2\}.$$

Contoh 3 (ETS 2021/2022)

Tentukan himpunan penyelesaian dari: $$\frac{7}{|2x-1|}\geq 3.$$

Pembahasan

Nilai mutlak hasilnya selalu tak-negatif. Adapun $|2x-1|$ sebagai penyebut sehingga nilainya tak boleh $0$. $|2x-1|$ akan bernilai $0$ hanya ketika fungsi di dalam tanda mutlak juga bernilai $0$. $$2x-1=0 \implies x=1/2$$ Jadi, $|2x-1|>0$ dimana $x\neq1/2$ dan pada pertidaksamaan, kedua ruas dapat langsung dikalikan $|2x-1|$. \begin{align*} \frac{7}{|2x-1|}&\geq 3\\ 7&\geq 3|2x-1|\\ |2x-1|&\leq\frac{7}{3}\\ -\frac{7}{3}\leq2x&-1\leq\frac{7}{3}\\ -\frac{7}{3}+1\leq &2x\leq \frac{7}{3}+1\\ -\frac{4}{3}\leq &2x\leq \frac{10}{3}\\ -\frac{2}{3}\leq &x\leq \frac{5}{3} \end{align*} Dengan demikian, Himpunan Penyelesaian dari pertidaksamaan mutlak pada soal adalah $$HP=\left[-\frac{2}{3},\frac{5}{3}\right]\setminus\left\{\frac{1}{2}\right\}=\left[-\frac{2}{3},\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2},\frac{5}{3}\right].$$

Latihan!

ETS 2023/2024

Dapatkan penyelesaian dari $|2x+1|=|3x-2|+1$.

Jawab:

Lihat Solusi

Berdasarkan definisi nilai mutlak, $|2x+1|$ dan $|3x-2|$ dapat ditulis sebagai $$|2x+1|=\begin{cases} 2x+1,\quad 2x+1\geq 0\implies x\geq-\frac{1}{2}\\ -(2x+1),\quad 2x+1 < 0\implies x<-\frac{1}{2} \end{cases}$$ dan $$|3x-2|=\begin{cases} 3x-2,\quad 3x-2\geq 0\implies x\geq\frac{2}{3}\\ -(3x-2),\quad 3x-2< 0\implies x<\frac{2}{3} \end{cases}$$ Hal tersebut membagi daerah pada garis bilangan menjadi $3$ daerah, yaitu: Gambar 1.2.1

Selanjutnya, akan dicari solusi persamaan mutlak untuk setiap daerah.

Daerah I ($x<-\frac{1}{2}$)
Pada daerah ini, $|2x+1|=-(2x+1)$ dan $|3x-2|=-(3x-2)$ sehingga \begin{align*} |2x+1|&=|3x-2|+1\\ -(2x+1)&=-(3x-2)+1\\ -2x-1&=-3x+2+1\\ x&=4. \end{align*} Nilai $x=4$ termasuk dalam interval $x<-\frac{1}{2}$ sehingga $x=4$ tidak termasuk solusi untuk persamaan mutlak pada soal.
Daerah II ($-\frac{1}{2} \leq x<\frac{2}{3}$)
Pada daerah ini, $|2x+1|=2x+1$ dan $|3x-2|=-(3x-2)$ sehingga \begin{align*} |2x+1|&=|3x-2|+1\\ 2x+1&=-(3x-2)+1\\ 2x+1&=-3x+2+1\\ 5x&=2\\ x&=\frac{2}{5} \end{align*} Nilai $x=\frac{2}{5}$ termasuk dalam $-\frac{1}{2} \leq x<\frac{2}{3}$ sehingga $x=\frac{2}{5}$ merupakan solusi untuk persamaan mutlak pada soal.
Daerah III ($x\geq\frac{2}{3}$)
Pada daerah ini, $|2x+1|=2x+1$ dan $|3x-2|=3x-2$ sehingga \begin{align*} |2x+1|&=|3x-2|+1\\ 2x+1&=3x-2+1\\ -x&=-2\\ x&=2. \end{align*} Nilai $x=2$ termasuk dalam interval $x\geq\frac{2}{3}$ sehingga $x=2$ merupakan solusi untuk persamaan mutlak pada soal.

Penyelesaian dari persamaan pada soal diperoleh dengan menggabungkan solusi pada tiap daerah, yaitu $\frac{2}{5}$ dan $2$.

ETS 2023/2024

Dapatkan penyelesaian pertidaksamaan $$\left|\frac{x+2}{1-x}\right|\leq 3.$$

Jawab:

Lihat Solusi

Perhatikan bahwa $\displaystyle \left|\frac{x+2}{1-x}\right|=\frac{|x+2|}{|1-x|}$. Hasil dari tanda mutlak selalu bernilai tak-negatif. Adapun $|1-x|$ sebagai penyebut tak boleh bernilai $0$. $|1-x|$ akan bernilai $0$ hanya ketika fungsi di dalam tanda mutlak juga bernilai $0$. $$1-x=0\implies x=1$$ Jadi, $|1-x|>0$ dimana $x\neq1$ dan pada pertidaksamaan, kedua ruas dapat langsung dikalikan $|1-x|$. \begin{align*} \left|\frac{x+2}{1-x}\right|&\leq 3\\ \frac{|x+2|}{|1-x|}&\leq3\\ |x+2|&\leq 3|1-x|\\ |x+2|-3|1-x|&\leq0 \end{align*} Berdasarkan definisi nilai mutlak, $|x+2|$ dan $|1-x|$ dapat ditulis sebagai $$|x+2|=\begin{cases} x+2,\quad x+2\geq 0\implies x\geq-2\\ -(x+2),\quad x+2< 0\implies x<-2 \end{cases}$$ dan $$|1-x|=\begin{cases} 1-x,\quad 1-x\geq 0\implies x\leq1\\ -(1-x),\quad 1-x< 0\implies x>1 \end{cases}$$ Hal tersebut membagi daerah pada garis bilangan menjadi $3$ daerah, yaitu:

Selanjutnya, akan dicari solusi pertidaksamaan mutlak untuk setiap daerah.

Daerah I ($x<-2$)
Pada daerah ini, $|x+2|=-(x+2)$ dan $|1-x|=1-x$ sehingga \begin{align*} |x+2|-3|1-x|&\leq0\\ -(x+2)-3(1-x)&\leq0\\ -x-2-3+3x&\leq0\\ 2x-5&\leq0\\ 2x&\leq5\\ x&\leq\frac{5}{2}. \end{align*} Perhatikan bahwa $\left\{x\leq\frac{5}{2}\right\} \cap \{x<-2\}=\{x<-2\}$ sehingga diperoleh Himpunan Penyelesaian (HP) yang pertama adalah $$HP_1=\{x|x<-2,\mathbb{R}\}=(-\infty,-2).$$
Daerah II ($-2 \leq x\leq 1$)
Pada daerah ini, $|x+2|=x+2$ dan $|1-x|=1-x$ sehingga \begin{align*} |x+2|-3|1-x|&\leq0\\ x+2-3(1-x)&\leq0\\ x+2-3+3x&\leq0\\ 4x-1&\leq0\\ 4x&\leq1\\ x&\leq\frac{1}{4}. \end{align*} Perhatikan bahwa $\left(x\leq\frac{1}{4}\right) \cap (-2\leq x\leq 1)=-2\leq x\leq \frac{1}{4}$ sehingga diperoleh Himpunan Penyelesaian (HP) yang kedua adalah $$HP_2=\left\{x\,\left|\,-2\leq x\leq \frac{1}{4}\right.,x\in\R\right\}=\left[-2,\frac{1}{4}\right].$$
Daerah III ($x>1$)
Pada daerah ini, $|x+2|=x+2$ dan $|1-x|=-(1-x)$ sehingga \begin{align*} |x+2|-3|1-x|&\leq0\\ x+2-3(-(1-x))&\leq0\\ x+2-3(-1+x)&\leq0\\ x+2+3-3x&\leq0\\ -2x+5&\leq0\\ -2x&\leq-5\\ x&\geq \frac{5}{2}. \end{align*} Perhatikan bahwa $x\geq \frac{5}{2} \cap x>1=x\geq \frac{5}{2}$ sehingga diperoleh Himpunan Penyelesaian (HP) yang ketiga adalah $$HP_3=\left\{x\,\left|\,x\geq \frac{5}{2}\right.,x\in\R\right\}=\left[\frac{5}{2},+\infty\right).$$

Jadi, Himpunan Penyelesaian (HP) dari pertidaksamaan mutlak pada soal adalah \begin{align*} HP&=(HP_1\cup HP_2\cup HP_3)\backslash \{1\}=\left\{x\,\left|\,x\leq \frac{1}{4}\right. \vee x\geq \frac{5}{2}, x\in\R\right\}&\\ &=\left(-\infty,\frac{1}{4}\right]\cup \left[\frac{5}{2},+\infty\right).\end{align*}

1.2 Nilai Mutlak

1.2
Nilai Mutlak